Mémoire sur l’intégration des équations linéaires aux différentielles partielles à trois variables PDF

Simulation numérique d’un essai de choc sur une voiture : les cellules utilisées pour le maillage sont visibles sur la surface du véhicule. Mémoire sur l’intégration des équations linéaires aux différentielles partielles à trois variables PDF, cela permet par exemple de calculer numériquement le comportement d’objets même très complexes, à condition qu’ils soient continus et décrits par une équation aux dérivées partielles linéaire : mouvement d’une corde secouée par l’un de ses bouts, comportement d’un fluide arrivant à grande vitesse sur un obstacle, déformation d’une structure métallique, etc.


Mémoire sur l’intégration des équations linéaires aux différentielles partielles à trois variables, par R. Lobatto
Date de l’édition originale : 1837

Ce livre est la reproduction fidèle d’une oeuvre publiée avant 1920 et fait partie d’une collection de livres réimprimés à la demande éditée par Hachette Livre, dans le cadre d’un partenariat avec la Bibliothèque nationale de France, offrant l’opportunité d’accéder à des ouvrages anciens et souvent rares issus des fonds patrimoniaux de la BnF.
Les oeuvres faisant partie de cette collection ont été numérisées par la BnF et sont présentes sur Gallica, sa bibliothèque numérique.

En entreprenant de redonner vie à ces ouvrages au travers d’une collection de livres réimprimés à la demande, nous leur donnons la possibilité de rencontrer un public élargi et participons à la transmission de connaissances et de savoirs parfois difficilement accessibles.
Nous avons cherché à concilier la reproduction fidèle d’un livre ancien à partir de sa version numérisée avec le souci d’un confort de lecture optimal. Nous espérons que les ouvrages de cette nouvelle collection vous apporteront entière satisfaction.

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La méthode des éléments finis fait partie des outils de mathématiques appliquées. Il s’agit donc avant tout de la résolution approchée d’un problème, où, grâce à la formulation variationnelle, les solutions du problème vérifient des conditions d’existence plus faibles que celles des solutions du problème de départ et où une discrétisation permet de trouver une solution approchée. La partie 2 va présenter le cadre général de la méthode des éléments finis, ainsi que le cas pratique le plus courant considérant des équations aux dérivées partielles linéaires dont on cherche une approximation par des fonctions affines. La présentation en partie 3 est essentiellement physique, notamment mécanique. Elle ne doit être considérée que comme une présentation des éléments constitutifs de la modélisation discrète utilisée en résistance des matériaux via la méthode des éléments finis. C’est une approche tout à fait valide, un bon exemple pédagogique. Elle apporte un biais certain quant à une approche plus générale, du fait notamment de la linéarité supposée des matériaux.

Une fois la géométrie approchée, il faut choisir un espace d’approximation de la solution du problème. Sur chacun des éléments finis, il est possible de linéariser l’EDP, c’est-à-dire de remplacer l’équation aux dérivées partielles par un système d’équations linéaires, par approximation. Cela nécessite de pouvoir interpoler, c’est-à-dire déterminer les valeurs en tout point à partir des valeurs connues en certains points. On utilise en général des fonctions polynomiales. Bien qu’il existe de nombreux logiciels exploitant cette méthode et permettant de  résoudre  des problèmes dans divers domaines, il est important que l’utilisateur ait une bonne idée de ce qu’il fait, notamment quant au choix du maillage et du type d’éléments qui doivent être adaptés au problème posé : aucun logiciel ne fait tout pour l’utilisateur, et il faut toujours garder un œil critique vis-à-vis de solutions approchées. La solution trouvée, il reste cependant à déterminer les caractéristiques de la méthode ainsi développée, notamment l’unicité de l’éventuelle solution ou encore la stabilité numérique du schéma de résolution.

Il est essentiel de trouver une estimation juste de l’erreur liée à la discrétisation et montrer que la méthode ainsi écrite converge, c’est-à-dire que l’erreur tend vers 0 si la finesse du maillage tend elle aussi vers 0. Pour l’explication, nous développons ici la méthode des éléments finis en deux dimensions à valeurs réelles. On suppose que les équations étudiées sont des équations différentielles d’ordre deux. 3 — y compris des problèmes de dynamique en espace à 3 dimensions qui pourraient être traités en quatre dimensions mais sont traités en réalité avec une méthode mixte éléments finis  en espace  et en différences finies  en temps . Pour simplifier les représentations, on suppose le bord polygonal. De telles fonctions sont continues et différentiables sur le bord du compact.

Cet espace est un espace de Sobolev. Cette condition au bord s’appelle la condition de Dirichlet. On démontre qu’il existe une solution unique à ce problème d’EDP à l’aide du théorème de Lax-Milgram. Multiplions les deux parties de l’équation précédente par v puis sommons sur le domaine Ω, puisque v et ƒ sont tous deux de carré sommable sur ce domaine.